О построении областей устойчивости точек равновесия дифференциальных уравнений

Научный журнал "Доклады Башкирского университета", 2016. Т. 1, № 1. С. 14-21.

Авторы


Юмагулов М. Г.*
Башкирский государственный университет
Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, 450076, ул. Заки Валиди, 32
Ибрагимова Л. С.
Башкирский государственный аграрный университет
Россия, 450001, г. Уфа, ул.50-летия Октября, 34
Мустафина И. Ж.
Башкирский государственный университет
Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, 450076, ул. Заки Валиди, 32

Абстракт


В работе предлагается новый общий подход, позволяющий изучать задачу построения областей устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений. Подход основан на модификации метода М. Розо исследования устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами, зависящими от малого параметра и асимптотических формулах теории возмущений линейных операторов. Получены приближенные формулы, описывающие границы областей устойчивости.

Ключевые слова


  • дифференциальные уравнения
  • точки равновесия
  • периодические решения
  • устойчивость
  • область устойчивости
  • малый параметр
  • асимптотические формулы

Литература


  1. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Ин-т компьют. исслед. 2002. 560 с.
  2. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика. 2000. 400 с.
  3. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. - Москва-Ижевск: Ин-т компьют. исслед. 2009. 548 с.
  4. Chiang H. D., Alberto L. F. Stability regions of nonlinear dynamical systems: theory, estimation, and applications. Cambridge University Press. 2015. 484p.
  5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967. 472 с.
  6. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972. 720 с.
  7. Loccufier M., Noldus E. A new trajectory reversing method for estimating stability regions of autonomous nonlinear systems // Nonlinear Dynamics. V. 21. 2000. P. 265-288.
  8. Chiang H. D., Hirsch M. W., Wu F. F. Stability regions of nonlinear autonomous dynamical systems. // Institute of Electrical and Electronics Engineers Trans. on Automatic Control, 33, №1.1988. P 16-27.
  9. Amaral F. M., Alberto L. F. C. Stability Boundary Characterization of Nonlinear Autonomous Dynamical Systems in the Presence of a Saddle Node Equilibrium Point. // Tend. Mat. Apl. Comput. V. 13. №2. 2012. P. 143-154.
  10. Красносельский М. А., Кузнецов Н. А., Юмагулов М. Г. Функционализация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа. // Автоматика и телемеханика. 1996. №11. C.22-28. // Автоматика и телемеханика. 1996. №12. C.24-30.
  11. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1964. 477с.
  12. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука. 1971. 288c.
  13. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1975. 740c.
  14. Красносельский М. А., Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений.// ДАН России. Том 365. №2. 1999. С.162-164.

About construction stability regions of equilibrium points of differential equations

Authors


Yumagulov M. G.*
Bashkir State University
450074, Russia, Ufa, Z. Validy str., 32
Ibragimova L. S.
Bashkir State Agrarian University
450001, Russia, Ufa, 50- anniversary of October str., 34
Mustafina I. G.
Bashkir State University
450074, Russia, Ufa, Z. Validy str., 32

Abstract


The paper proposes a new general approach that allows to study the problem of constructing stability regions of nonlinear differential equations. The approach is based on a modification of the method of M. Rozo for the study of stability of linear systems with periodic coefficients depending on a small parameter and asymptotic formulas of the perturbation theory of linear operators. The approximate formulas describing the boundary of the stability regions.

Keywords


  • differential equation
  • equilibrium points
  • periodic solutions
  • stability
  • stability region
  • small parameter
  • asymptotic formula