Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля на кривой с кусочно-аналитичным потенциалом

Научный журнал "Доклады Башкирского университета", 2017. Т. 2, № 3. С. 371-374.

Авторы


Резбаев А. В.
Башкирский государственный университет
Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, улица Заки Валиди, 32
Ишкин Х. К.*
Башкирский государственный университет
Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, улица Заки Валиди, 32

Абстракт


В статье изучаются условия, при которых спектр оператора Штурма-Лиувилля на некоторой гладкой кривой локализуется около счетного числа лучей. В случае, когда потенциал кусочно-аналитичен, найдена асимптотика собственных чисел каждой серии, локализующейся около соответствующего луча. Полученный результат позволяет обобщить известную формулу об асимптотике функции распределения спектра, которая была установлена Б. Дэвисом в случае конечного числа лучей локализации.

Ключевые слова


  • дифференциальные операторы
  • оператор Штурма-Лиувилля на кривой
  • кусочно-гладкие функции
  • локализация спектра

Литература


  1. Davies E. B. Eigenvalues of an elliptic system // Math. Zeitschrift. 2003. 243. C.719-743
  2. Ишкин Х. К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма-Лиувилля на кривой // Матем. заметки. 2005. Т.78. Вып.1. С.72-84
  3. Ишкин Х. К. О критерии безмонодромности уравнения Штурма-Лиувилля // Матем. Заметки. 2013. Т.94. Вып.4. С.552-568
  4. Ишкин Х. К. Критерий локализации спектра оператора Штурма-Лиувилля на кривой // Алгебра и анализ. 2016. T.28. Вып.1. С.52-88

Финансирование


  • Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №15-01-01095.

Asymptotics of the spectrum of a Sturm-Liouville operator on a curve with piecewise analytic potential

Authors


Rezbaev A. V.
Bashkir State University
32 Zaki Validi Street, 450074 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia
Ishkin Kh. K.*
Bashkir State University
32 Zaki Validi Street, 450074 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia

Abstract


In this paper, we study conditions for the localization of the spectrum of a non-selfadjoint Sturm-Liouville operator on a smooth curve. The conditions under which the spectrum is localized about a countable number of rays is obtained. In the case where the potential is piecewise analytic, we have obtained the asymptotic of eigenvalues of each series. The obtained result allows us to generalize the well known formula for asymptotics of spectral distribution function, which was established by B. Davies in the case of finite number of localization rays.

Keywords


  • differential operators
  • Sturm-Liouville operator on a curve
  • piecewise smooth function
  • spectral localization